Bonjour,
il est certain que si sur le territoire où tu la places il n'y a pas de 2G tu vas avoir du mal à la faire fonctionner pour l'envoie des mails !

Les mails se servent de la data (en plus ici de la 2G) contrairement au MMS, comme j'ai pu l'indiquer dans le sujet MMS, SMS, mail et consommation de data...

Maintenant pour répondre à ta question concernant le fait que le mail envoyé ne s'affiche pas dans les éléments envoyés de ta boite mail, ça me semble "normal" selon de quoi tu parles...

En effet, tu ne verras pas sur ton webmail dans les éléments envoyés, un mail que l'appareil lui même a envoyé puisqu'il n'est pas parti du webmail.
Il en est de même avec ton téléphone, tu ne verras pas un mail envoyé à partir de ton téléphone dans les éléments envoyés de ton webmail, et inversement.

J'espère que mes réponses t'éclaireront quelques peu.

Si tu as d'autres questions, n'hésite pas ! ;)

Au plaisir